Vitesse instantanée et accélération instantanée

En physique, lorsqu’on parle de vitesse, on pense souvent à la vitesse moyenne, comme lorsque l’on dit qu’une voiture a roulé à\(​​​90~\text{km}\cdot\text{h}^{-1}\) sur un trajet. Or, cette vitesse n'est pas forcément constante : il peut être utile et intéressant de connaître la vitesse à un instant précis. C’est là qu’intervient la notion de vitesse instantanée.

Dans un référentiel, considérons un mobile se déplaçant le long d'une trajectoire rectiligne horizontale correspondant à l'axe du repère. Le mobile commence son déplacement à l'instant \(t=0\) en partant de l'origine du repère. Sa position à l'instant \(t\) est son abscisse sur l'axe du repère.
Mathématiquement, on peut modéliser la position du mobile à l'instant \(t\) comme l'image de \(t\) par la fonction position, appelée, par exemple, \(x\). Ainsi \(x(t)\) est la position du mobile à l’instant \(t\) . Le fait que le mobile commence son déplacement à l'instant \(t=0\) se traduit par \(x(0)=0\).

Définition

La vitesse moyenne du mobile entre deux instants \(t_1\) et \(t_2\) est donnée par : \(\boxed{v_\text{moyenne}=\dfrac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}}\).

Pour obtenir la vitesse instantanée à l’instant \(t_1\), on va regarder la valeur limite de la vitesse moyenne lorsque \(t_2\) se rapproche de \(t_1\), l'intervalle de temps \(\Delta t=t_2-t_1\) devient alors de plus en plus petit. La limite de la vitesse moyenne quand \(\Delta t\) tend vers \(0\) est ce que les mathématiciens appellent le nombre dérivé de \(x\) en \(t_1\).

La vitesse instantanée à l'instant \(t_1\) est donc donnée par :
\(\boxed{v(t_1)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{x(t_1+\Delta t)-x(t_1)}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\Big(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\Big)_{t_1}=\frac{\text{d}x}{\text{d}t}(t_1)=x'(t_1)}\).

Les quatre expressions données pour définir la vitesse instantanée en \(t=t_1\) sont équivalentes. La dernière est classiquement celle utilisée en mathématiques, l'avant-dernière est classiquement utilisée en physique.
Par ailleurs, l’accélération est une grandeur qui mesure la façon dont la vitesse d’un objet change au cours du temps : si un objet accélère, sa vitesse augmente ; s’il ralentit, sa vitesse diminue. 
Comme pour la vitesse, on peut faire la même distinction entre accélération moyenne et accélération instantanée.

Définition

On considère la même situation que celle décrite précédemment.
L’accélération moyenne entre deux instants \(t_1\) et \(t_2\) est donnée par :
\(\boxed{a_\text{moyenne}=\dfrac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}}\).

L'accélération instantanée à l'instant \(t_1\) est donnée par :
\(\boxed{a(t_1)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{v(t_1+\Delta t)-v(t_1)}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\Big(\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\Big)_{t_1}=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}(t_1)=v'(t_1)}\).